Matemática discreta Ejemplos

$4 \log_{5} (\sqrt{6 x - 1}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Paso 1

Establece el denominador en $\frac{5}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2

Establece el argumento en $\log_{5} (\sqrt{6 x - 1})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{6 x - 1} \leq 0$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{6 x - 1}}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 3.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 x - 1}$ como ${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica ${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(6 x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica.

$6 x - 1 \leq 0^{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$6 x - 1 \leq 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$6 x \leq 1$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $6 x \leq 1$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $6 x \leq 1$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{1}{6}$

Paso 3.4

Obtén el dominio de $\sqrt{6 x - 1}$ .

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Paso 3.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{6 x - 1}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$6 x - 1 \geq 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $x$

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Paso 3.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$6 x \geq 1$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $6 x \geq 1$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $6 x \geq 1$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{1}{6}$

Paso 3.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[\frac{1}{6}, \infty)$

Paso 3.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{1}{6}$

$x > \frac{1}{6}$

Paso 3.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{1}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{1}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 3.6.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{6 (0) - 1} \leq 0$

Paso 3.6.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.6.2

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 3.6.2.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\sqrt{6 (3) - 1} \leq 0$

Paso 3.6.2.3

$4.12310562$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 3.6.3

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{1}{6}$ Falso

$x > \frac{1}{6}$ Falso

$x < \frac{1}{6}$ Falso

$x > \frac{1}{6}$ Falso

Paso 3.7

Como no hay números que estén dentro del intervalo, esta desigualdad no tiene solución.

No hay solución

Paso 4

Establece el argumento en $\log_{5} (\frac{5}{x})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\frac{5}{x} \leq 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

Paso 5.2

Obtén el dominio de $\frac{5}{x}$ .

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Paso 5.2.1

Establece el denominador en $\frac{5}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 5.2.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5.3

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 0$

Paso 6

Establece el radicando en $\sqrt{6 x - 1}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$6 x - 1 < 0$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Suma $1$ a ambos lados de la desigualdad.

$6 x < 1$

Paso 7.2

Divide cada término en $6 x < 1$ por $6$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $6 x < 1$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x < \frac{1}{6}$

Paso 8

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < \frac{1}{6}$

$(- \infty, \frac{1}{6})$

Paso 9